Теорема о разгрузке

Разгрузкой всего тела называется процесс изменения внешних сил, при котором во всех областях тела, где произошла пластическая деформация, интенсивность напряжений  начинает убывать одновременно. Это значит, что тело из стадии активной деформации переходит в стадию пассивной деформации.

А.А.Ильюшиным сформирована и доказана теорема о разгрузке: перемещения точки тела в некоторый момент стадии разгрузки отличаются от их значений в момент начала разгрузки на величины упругих перемещений, которые возникли бы в теле, если бы в естественном (ненагруженном) состоянии к нему были приложены внешние силы, равные разности внешних сил, действующих в указанные моменты. Это утверждение относится также к деформациям и напряжениям.

Из рассмотренной теории следует такой порядок определения напряжений, деформаций и перемещений при разгрузке:

по уравнениям теории пластичности определяют напряжения, деформации и перемещения, которые возникают при наибольшей нагрузке, действующей до начала разгрузки;

из уравнений теории упругости определяют напряжения, деформации и перемещения, вызываемые нагрузками, равными по величине разности между наибольшими нагрузками до начала разгрузки и нагрузками, оставшимися после разгрузки;

получают напряжения, деформации и перемещения в рассматриваемый момент разгрузки как разность между их значениями, соответствующими наибольшей нагрузке, и значениями, найденными по величинам нагрузок, на которые произошла разгрузка.

Зависимости между интенсивностями напряжений и деформаций

Как уже указывалось, вид зависимости (155) между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций можно установить по диаграмме растяжения материала. Рассмотрим диаграмму (рис. 34), состоящую из прямолинейного  и криволинейного  участков.

Напряжение в произвольной точке  можно выразить разностью отрезков:

.

Т.к. на диаграмме  численно равен модулю упругости , получаем

.

Рис. 34

Здесь                                                                                                  (156)

− функция понижения напряжений за пределом текучести по сравнению с напряжениями, получаемыми в предположении, что деформирование происходит по упругому закону.

В соответствии с третьим законом теории малых упруго-пластических деформаций зависимость (155) должна иметь такой же вид как при простом растяжении, т.е.:

.                                            (157)

Рассмотрим, какой вид имеет функция  для различных видов диаграммы .

Для диаграммы, состоящей из двух прямолинейных участков (рис. 35), за пределом текучести (участок ) получаем:

или

,

где .

Рис. 35

Теперь функция понижения напряжений принимает такой вид:

,

где  − относительное понижение модуля упругости при переходе в пластическую область деформирования.

Таким образом, функция  для диаграммы (рис. 35) будет такой:

                                        (158)

Для идеального упруго-пластического материала, следующего диаграмме Прандтля (рис. 36), соотношения (158) принимают вид:

                                                 (159)

Рис. 36

Для материала, диаграмма которого не имеет прямолинейных участков (рис. 37), зависимость  можно принять степенной в виде

,                                                       (160)

где .

При  получаем закон деформирования идеально упругого тела:

.

Ему на рис. 37 соответствует штриховая линия .

При  закон деформирования соответствует идеально пластическому телу:

.

На рис. 37 он выражается штриховой линией .

Рис. 37

Постановка задачи теории пластичности

Таким образом, в теории пластичности имеем 17 неизвестных, являющихся функциями координат , , :

шесть составляющих напряжений − , , , , , ;

шесть составляющих деформаций − , , , , , ;

три составляющих перемещений − , , ;

интенсивность напряжений ;

интенсивность деформаций .

Для их отыскания имеется 17 уравнений:

три дифференциальных уравнения равновесия (1);

шесть физических уравнений закона Гука (147), причем только пять из них являются независимыми. В качестве шестого уравнения берут закон изменения объема (153);

шесть формул Коши (19);

зависимость между интенсивностью напряжений и деформаций (155);

выражение для интенсивности деформаций (142).

Таким образом при активной деформации и простом загружении задача имеет математическое решение. Однако практически получить его трудно, т.к. основные соотношения выражены дифференциальными уравнениями в частных производных, притом нелинейными.

Для материала со слабовыраженным упрочнением действительную диаграмму деформирования можно заменить диаграммой идеального упруго-пластического тела (рис. 36). Тогда вместо шести физических уравнений (147) можно взять одно из условий пластичности, например (152). При такой замене нельзя однозначно определить деформации для тела, полностью находящегося в пластическом состоянии. Однозначное решение в этом случае можно получить только тогда, когда в теле наряду с пластическими имеются и упругие зоны.

При решении задачи теории пластичности могут быть использованы те же способы, что и в теории упругости: решение в напряжениях, решение в перемещениях и смешанное решение.

Математическое решение задачи может быть получено теми же методами, что и в теории упругости: прямым, обратным и полуобратным. Эффективным является приближенный метод упругих решений, предложенный А.А.Ильюшиным.

Вопросы для самоконтроля

Что такое пластичность?

Что такое активное и пассивное деформирование?

Как отличаются друг от друга простое и сложное нагружения?

Что такое инварианты деформированного состояния?

Назовите условия пластичности. Как они связаны с теориями прочности сопротивления материалов?

На каких законах основывается теория малых упруго-пластических деформаций?

В чем суть теоремы А.А.Ильюшина о простом нагружении?

Что называется разгрузкой тела?

Как определяются параметры напряженно-деформированного состояния в соответствии с теоремой о разгрузке?

Как устанавливаются зависимости между интенсивностями напряжений и деформаций?

Какой материал является идеальным упруго-пластическим?

Сколько неизвестных содержит задача теории пластичности? Перечислите их.

Назовите уравнения теории пластичности.

Перечислите способы и методы математического решения задачи теории пластичности.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я