Основные определения

Пластичностью называется свойство материала претерпевать остаточную деформацию без нарушений сплошности под действием нагрузки.

Теория пластичности устанавливает общие законы образования в твердых телах пластических деформаций и действующих на всех стадиях пластического деформирования напряжений, вызываемых внешними воздействиями. Теория пластичности рассматривает тела, которые не подчиняются свойствам упругости. После удаления с таких тел внешнего воздействия они не восстанавливают первоначальную форму, т.е. получают остаточные деформации.

Тело, не подчиняющееся законам упругости с самого начала нагружения, называется пластическим телом. Диаграмма растяжения такого тела приведена на рис. 32.

Рис. 32

Если же тело в начале нагружения обладает упругими свойствами (участок  на рис 33) и только с некоторой стадии в нем появляются остаточные деформации, оно называется упруго-пластическим телом.

Рис. 33

В теории пластичности рассматриваются две различные задачи:

изучение процесса деформирования тел на всех стадиях нагружения;

определение только лишь несущей способности.

Первая задача относится к математической теории пластичности. В ней рассматривается определение напряжений, деформаций и перемещений от заданной нагрузки в любой момент нагружения, определение границы между упругой и пластической зонами, определение остаточных напряжений и деформаций при частичном и полном снятии нагрузки.

Вторая задача относится к прикладной теории упругости. В ней исследуется лишь предельное состояние тела без изучения промежуточных стадий деформирования.

Законы пластического деформирования зависят от того, растет или уменьшается нагрузка. В связи с этим различают два вида деформации: активную и пассивную.

Эти виды деформирования легко разграничить при простом растяжении-сжатии, чистом сдвиге и чистом изгибе. Активной в этих случаях будет деформация, при которой напряжение растет по абсолютной величине, а пассивной – при которой напряжение убывает по абсолютной величине.

При сложном напряженном состоянии активной называется деформация, при которой в данный момент интенсивность напряжений  (15) имеет значение, превышающее по абсолютной величине все предыдущие ее значения. Пассивной в этом случае называется такая деформация, при которой интенсивность напряжений по абсолютной величине меньше хотя бы одного из предыдущих ее значений.

При активном деформировании пластическая деформация растет, при пассивном – остается постоянной. Активную деформацию называют процессом нагружения, а пассивную – иногда разгрузкой.

На законы пластического деформирования существенно влияет характер нагружения тела. Различают простое и сложное нагружения.

Простым называют такой процесс нагружения, при котором внешние силы возрастают пропорционально одному параметру. Такое изменение нагрузок обеспечивает постоянство направлений главных напряжений и деформаций в каждой точке тела.

Сложным является такое нагружение, при котором возрастанию хотя бы одной из сил не соответствует пропорциональное возрастание остальных сил.

Статические, геометрические и физические уравнения

Так же, как и в теории упругости, напряженное состояние в каждой точке тела, находящегося под действием объемной и поверхностной нагрузки, определяется шестью составляющими напряжений , , , , , . Эти напряжения связаны тремя дифференциальными уравнениями равновесия Навье (1), а на поверхности тела должны удовлетворяться условия (3).

Напряженное состояние в точке тела также может быть охарактеризовано тремя инвариантами , ,  (11) или (13). Кроме того, применяются также такие инвариантные величины как интенсивность касательных напряжений  (14) и интенсивность напряжений  (15).

Деформированное состояние в точке тела определяется шестью составляющими деформаций , , , , , , которые связаны формулами Коши (19) с тремя составляющими перемещений , , . В свою очередь, деформации должны удовлетворять шести уравнениям сплошности Сен-Венана (21), (22).

Аналогично главным напряжениям вводится понятие главных деформаций, т.е. таких, в плоскости которых отсутствуют сдвиги. Кубическое уравнение, получаемое для определения главных деформаций , ,  имеет коэффициенты

               (141)

Эти коэффициенты представляют собой инварианты деформированного состояния. Из сравнения первой формулы (141) с выражением (29) объемной деформации, делаем вывод о том, что объемная деформация также является инвариантной величиной.

Кроме того, в теории пластичности применяется инвариантная величина

,         (142)

называемая интенсивностью деформаций. Интенсивность деформаций – величина, пропорциональная углу сдвига на октаэдрической (равнонаклоненной к координатным плоскостям) площадке. Числовой коэффициент в (142) выбран так, чтобы при простом растяжении (сжатии) и  интенсивность деформаций была равна линейной деформации в направлении растяжения (сжатия).

Физические уравнения, представленные в теории упругости формулами закона Гука в прямой (24) и обратной (31) форме, для применения в теории пластичности необходимо преобразовать.

Вычтем из обеих частей первой формулы (31) среднее напряжение в точке  (28):

.                                             (143)

Входящие сюда постоянные  и  (30) запишем так:

; .

С учетом этих постоянных  и соотношения , подставим (29), (26) и (23) в (143) и получим:

.

Выполнив аналогичные преобразования со второй и третьей формулами (31) приходим к такой форме закона Гука:

                        (144)

Составляющие деформаций , , , , ,  соответствуют изменению формы тела, т.к. изменение объема при этом отсутствует:

Таким образом, формулы (144) устанавливают связь между напряжениями и деформациями, соответствующими только изменению формы тела.

Формулам (144) соответствуют эквивалентные им соотношения:

,             (145)

которые для главных направлений имеют такой вид:

.

Если ввести понятия главных касательных напряжений и главных сдвигов:

;         ;         ;

;            ;           ,

последние соотношения примут вид:

.                                             (146)

Выражение (142) для интенсивности деформаций преобразуем, заменяя в нем деформации напряжениями в соответствии с (145):

.

Сравнивая это выражение с выражением (15) для интенсивности напряжений, делаем вывод, что

 или .

С учетом этого закон Гука (144) принимает такой вид:

                                         (147)

Аналогично преобразуются формулы (146):

.                                                      (148)

Напомним, что соотношения (147) и (148) являются эквивалентными.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я