Краевой эффект в оболочке вращения

В тонких оболочках вращения при осесимметричной нагрузке изгибающие моменты ,  быстро затухают вдоль меридиана при удалении от места возбуждения безмоментного состояния (от закрепленного края, от места приложения сосредоточенной нагрузки). Дальше решения, полученные из уравнений моментной и безмоментной теорий, практически совпадают. Зона, в которой наличием усилий моментного состояния нельзя пренебрегать, называется зоной краевого эффекта. Эта зона распространяется вдоль меридиана на длину, соизмеримую с долями радиуса . В связи с этим в пределах этой зоны радиусы ,  и угол  можно считать постоянными. Кроме того, изменение моментных усилий здесь имеет характер быстро затухающих колебаний. Поэтому производные функций усилий и деформаций в пределах зоны краевого эффекта всегда больше самих усилий и деформаций. Это дает возможность везде, где суммируются усилия, перемещения и деформации с их производными, оставлять лишь соответствующие производные высшего порядка.

На основании изложенных обстоятельств и с учетом того, что в задаче о краевом эффекте нагрузка отсутствует, уравнения равновесия принимают такой вид:

                     (127)

Геометрические уравнения преобразуем введением новой переменной – угла  поворота нормали к меридиану после деформации (рис. 31).

Рис. 31

При этом приращения кривизны (124), (125) можно выразить через  так:

;             .                               (128)

Для определения  рассмотрим элемент меридиана (рис. 31). Из криволинейного треугольника  вытекает, что до деформации

.                                                      (129)

Соответственно, после деформации из треугольника , находим

.

Преобразуем полученное уравнение:

или с учетом того, что , , , а также (129), имеем:

.

Отсюда

.

В последнем выражении при достаточно больших значениях  первым слагаемым можно пренебречь по сравнению со слагаемым, содержащим производную деформации. Тогда

.                                                        (130)

Упростим остальные уравнения. Выразив  из второго уравнения равновесия (127), подставим в первое. Пренебрегая усилиями по сравнению с их производными, получаем:

,

откуда после интегрирования

.

Поскольку при учете краевого эффекта нагрузка отсутствует,  и

.                                                          (131)

Подставив (131) во второе уравнение равновесия, после упрощений имеем:

.                                                       (132)

С учетом (131), (132) преобразуем выражение (123) для :

.                                 (133)

Из третьего уравнения равновесия вытекает:

.                                     (134)

Подставляя (134) в третью формулу (126), находим

.                                  (135)

С учетом (135) поперечная сила (134) будет такой:

                                                         (136)

и кольцевая деформация (133) выражается через :

.                                     (137)

Подставим далее (137) в (130). После преобразований придем к приближенному дифференциальному уравнению краевого эффекта:

,                                            (138)

где .

Для оболочки вращения вместо угла  введем новую координату – дугу меридиана  так, что

.

Тогда уравнение (138) принимает такой вид:

.                                          (139)

Отсчитывая дугу  от нижнего края оболочки вращения, получим решение дифференциального уравнения в таком виде:

.

Теперь можно найти усилия краевого эффекта у нижнего края оболочки:

;

;

;                    (140)

;

.

Расчет моментной оболочки вращения на осесимметричную нагрузку выполняется в таком порядке. По формулам (102), (103) находятся усилия  и  безмоментного состояния. Полученные усилия суммируются с усилиями (140) краевого эффекта и из граничных условий определяются постоянные  и  общего решения.

Вопросы для самоконтроля

Какие усилия возникают в сечениях моментной оболочки вращения при осесимметричной нагрузке?

Какие уравнения должны составляться для расчета моментной оболочки вращения при осесимметричной нагрузке?

Что такое зона краевого эффекта. Насколько она распространяется от краев оболочки?

Какие допущения принимаются относительно деформаций, перемещений, усилий и их производных в зоне краевого эффекта?

В какой последовательности выполняют расчет безмоментной оболочки вращения на осесимметричную нагрузку с учетом краевого эффекта?


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я