Оболочка вращения при осесимметричной нагрузке

Рассмотрим равновесие элемента  срединной поверхности оболочки (рис. 29). На его гранях, кроме усилий ,  действуют поперечные силы  и изгибающие моменты , . Из симметрии нагрузки следует, что сдвигающие усилия, крутящие моменты и поперечные силы  отсутствуют, а усилия  и моменты  будут постоянны вдоль параллели. Нагрузка при этом задана составляющими  и .

Условия равенства нулю суммы проекций сил на оси  и , а также моментов относительно оси  приводят к таким условиям равновесия:

;

;                                (121)

.

Остальные уравнения равновесия обращаются в тождества, задача является статически неопределимой и необходимо исследовать деформации.

Рис. 29

При осесимметричной нагрузке перемещения точек срединной поверхности определяются двумя составляющими:  − вдоль касательной к меридиану (тангенциальное перемещение) и  − вдоль нормали к поверхности (радиальное перемещение).

Рассмотрим деформацию элемента  меридиана длиной  (рис. 30). После деформации длина элемента изменяется на величину

и относительное удлинение меридиана составит

.                                  (122)

Приращение радиуса параллельного круга соответствует горизонтальной проекции расстояния  на рис. 30:

.

Оно определяет линейную деформацию в кольцевом направлении:

.                                (123)

Рис. 30

Для определения изменения кривизны меридиана найдем поворот нормали в точках  и  (рис. 30):

;              .

Отношение разности углов поворота нормали к длине  дуги  дает приращение кривизны меридиана:

.                                  (124)

Поворот нормали относительно вертикальной оси в каждой точке параллели одинаков и составляет

.

Соответствующий взаимный поворот нормалей в смежных точках параллели составит

.

Тогда приращение кривизны параллели получим делением величины этого поворота на длину элемента параллели :

.                                    (125)

Формулы (122),…, (125) устанавливают связь между деформациями и перемещениями.

Соотношения между усилиями и деформациями представим упрощенными уравнениями теории тонких оболочек:

                  (126)

где  − цилиндрическая жесткость,  − толщина оболочки.

Итак, для расчета моментной оболочки вращения при осесимметричной нагрузке имеем 11 уравнений (121),…, (126), в которые входят 11 неизвестных: усилия , , , , , перемещения ,  и деформации , , , .


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я