Оболочка вращения при осесимметричной нагрузке

Оболочка вращения имеет одну ось симметрии. Ее срединная поверхность образована вращением вокруг оси кривой  (рис. 19), называемой меридианом. Точка  этой кривой описывает окружность радиусом  − параллель. Величину  называют радиусом параллельного круга.

Рис. 19

При осесимметричной нагрузке в оболочке вращения сдвигающие (кососимметричные) усилия отсутствуют.

Выделим элемент оболочки двумя меридиональными и двумя параллельными (перпендикулярными к оси симметрии) плоскостями (рис. 20). На элемент действуют меридиональные погонные усилия , кольцевые погонные усилия  и нагрузка, составляющая которой вдоль нормали к поверхности − .

Рис. 20

Проекция сил на нормаль к поверхности  дает:

Пренебрегая величинами третьего порядка малости и заменяя дифференциалы углов дифференциалами дуг , , после сокращения на ,  получаем:

.                                                        (102)

Для определения меридионального усилия  отсечем горизонтальной плоскостью верхнюю часть оболочки (рис. 21) и спроектируем действующие на нее силы на ось .

Рис. 21

Равнодействующая нагрузки , приложенной к отсеченной части оболочки, в силу осесимметричности действует вертикально. В этом случае получаем:

,

откуда

.                                                     (103)

Подставляя меридиональное усилие (103) в (102) можем получить кольцевое усилие .

Меридиональные усилия дают горизонтальные составляющие

,

которые на нижнем краю оболочки создают горизонтальные усилия

,                                                     (104)

при нагрузке , направленной вниз, растягивающие опорное кольцо.

Рассмотрим половину опорного кольца (рис. 22), загруженного радиальной нагрузкой .

Рис. 22

Из условия равновесия

получаем растягивающее усилие в кольце:

или, с учетом (104) и :

.                                           (105)

Наибольшее значение усилие  достигает при , а при  обращается в ноль.

Изгиб оси оболочки вращения

Расчет оболочки на произвольную нагрузку можно выполнить на основе аналогии ее с прямым стержнем, работающим на поперечный изгиб.

Будем считать, что меридиональные усилия в сечении оболочки, перпендикулярном к оси симметрии, изменяются по закону плоскости.

Отсекая верхнюю часть оболочки (рис. 23, а), обозначим  − горизонтальную составляющую нагрузки и  − ее момент относительно оси сечения, перпендикулярной к площади рисунка.

Рис. 23

Тогда, обозначив  − усилие в точке сечения оболочки, лежащей на оси , получаем закон изменения меридионального усилия вдоль параллели

или, с учетом ,

.                                                       (106)

Горизонтальная проекция этих усилий (рис. 23, а, б)

дает равнодействующую

.                   (107)

Меридиональные усилия создают также момент относительно оси , который уравновешивает внешний момент :

                    (108)

Считая, что сдвигающие усилия  в горизонтальном сечении оболочки (рис. 23, в) распределены по закону

,                                                (109)

найдем их равнодействующую:

.                         (110)

Равнодействующие  (107) и  (110) должны уравновесить поперечную нагрузку , приложенную к отсеченной части оболочки:

.                                      (111)

Из (108) находим меридиональное усилие

                                                   (112)

и, далее, из (111) сдвигающее усилие

.                                        (113)

Формулы (112) и (113) дают возможность через горизонтальную составляющую  и момент  нагрузки определить меридиональное и сдвигающее в сечениях оболочки. Расчет на вертикальную составляющую  нагрузки можно выполнить по формулам (102), (103).

Такой расчет является приближенным, поскольку нагрузка в общем случае может вызвать другие усилия по сравнению с найденными по (102), (103), (112), (113).

Оболочка произвольной формы

Для отображения поверхности оболочки обычно используют ортогональную систему криволинейных координат  и  (рис. 24), соответствующих линиям главных кривизн.

Рис. 24

Бесконечно малые дуги  и  можно считать отрезками прямых. Их называют линейными элементами поверхности и они пропорциональны дифференциалам координат:

, .                                                  (114)

Коэффициенты  и  называют коэффициентами первой квадратичной формы поверхности:

.

Например, для оболочки вращения, если координату  отсчитывать вдоль меридиана,  − вдоль параллели, а расположение точки на поверхности определять координатой  на меридиане и углом  на параллели, получаем:

,          .

Отсюда , .

В общем случае оболочки коэффициенты  и  являются функциями координат  и .

Выделим бесконечно малый элемент  срединной поверхности оболочки (рис. 25).

Стороны этого криволинейного четырехугольника

;   ;

;   .

Грани элемента в касательной плоскости образуют углы

;      .                (115)

Дугам  и  соответствуют углы  и  в плоскостях главных кривизн:

;            .                                    (116)

Рис. 25

В безмоментном состоянии на гранях выделенного элемента действуют погонные нормальные ,  и сдвигающие ,  усилия (рис. 26). В ортогональной системе координат  поверхностная нагрузка представлена составляющими ее интенсивности , , .

Рис. 26

Из условия равенства нулю суммы моментов сил относительно оси  получаем

.                                                (117)

Это соотношение выражает закон парности сдвигающих усилий.

Проектируя все силы на ось , получаем:

Раскрывая скобки, приводя подобные и отбрасывая бесконечно малые выше второго порядка, получаем:

.

Далее преобразовываем производные:

;

и подставляем дифференциалы углов ,  и ,  из (115), (116). Учитывая закон парности сдвигающих усилий (117), получаем первое уравнение равновесия в (118). Аналогично получены остальные уравнения (118) из условий равенства нулю проекций или на оси  и :

;

;               (118)

.

Остальные уравнения (моменты сил относительно осей  и ) обращаются в тождества.

Три уравнения (118) содержат три неизвестных усилия , , , т.е. оболочка статически определима в бесконечно малом.

Рассмотрим частные случаи оболочки.

Сферическая оболочка. Для нее имеем . Отсчитывая координату  вдоль меридиана и заменяя ее на , а координату  − вдоль параллели и заменяя ее на  (рис. 27), получаем:

,   ,

т.е. , .

Рис. 27

Теперь уравнения (118) будут такими:

,

,                        (119)

.

Цилиндрическая оболочка (рис 28). Для этой оболочки , , , , , .

Уравнения (118) принимают такой вид:

,

,                                          (120)

.

Рис. 28

Вопросы для самоконтроля

Как образуется поверхность оболочки вращения?

Что называется меридианом, параллелью?

Какие усилия возникают в оболочке вращения при осесимметричной нагрузке?

Какие допущения о распределении усилий принимают при расчетах оболочки вращения на изгиб оси?

Как выполняется приближенный расчет безмоментной оболочки вращения при произвольной нагрузке?

Что называется линейным элементом поверхности?

Что такое коэффициенты первой квадратичной формы поверхности?

Сколько дифференциальных уравнений равновесия записывают для безмоментной оболочки произвольной формы?

Почему для расчета безмоментной оболочки не нужны геометрические уравнения?

В чем суть закона парности сдвигающих усилий?


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я