Метод Бубнова-Галеркина

Метод основан на свойстве ортогональных функций. Ортогональными на отрезке  называются функции  и , для которых выполняется условие

.

Если одна из функций, например , тождественно равна нулю, то она будет ортогональна к любой функции . Например, функция

,

являющаяся левой частью дифференциального уравнения изогнутой оси балки, тождественно равна нулю при всех значениях , поэтому

.

Если функцию прогибов  заменить приближенно рядом

,

то выражение  уже не будет тождественно равно нулю, следовательно не будет ортогонально любой функции. Тогда потребуем, чтобы оно было ортогонально, по крайней мере, к каждой из функций , составляющих ряд , т.е. чтобы выполнялись условия

,

Таким образом, получим систему  линейных уравнений для определения  коэффициентов , входящих в ряд.

Приведенные рассуждения применимы и к функциям двух переменных.

Рассмотрим функцию прогибов в виде ряда (97).

Потребуем, чтобы левая часть дифференциального уравнения изогнутой срединной поверхности

                                                        (99)

была ортогональна каждой из функций  ряда (97). Эти условия для прямоугольной области ,  приводят к следующей системе уравнений:

,                                            (100)

.

Решение системы дает значения коэффициентов  и, тем самым, функцию прогибов.

Метод Бубнова-Галеркина позволяет более просто, чем в методе Ритца-Тимошенко получить значения коэффициентов ряда (97). Трудности здесь связаны с подбором функций , так как они должны удовлетворять не только кинематическим, но и статическим граничным условиям.

Методу Бубнова-Галеркина можно дать энергетическую интерпретацию. Левая часть дифференциального уравнения (99) представляет собой проекцию на ось  внутренних и внешних сил, действующих на бесконечно малый элемент срединной поверхности пластинки. Функции , входящие в ряд , можно рассматривать как возможные перемещения срединной поверхности. Тогда условия (100) выражают принцип возможных перемещений.

В этом смысле методы Ритца-Тимошенко и Бубнова-Галеркина равноценны и приводят к одинаковым результатам, если функции  выбраны удовлетворяющими всем граничным условиям.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я