Решение Навье

Это решение получено для задачи изгиба прямоугольной пластинки, шарнирно опертой по всему контуру (рис. 15). Поперечная нагрузка  предполагается изменяющейся по любому закону.

Рис. 15

Функцию прогибов  будем искать в виде двойного тригонометрического ряда

,                         (90)

,

Задача заключается в определении коэффициентов  ряда (90).

Проверим выполнение граничных условий. При шарнирном опирании имеем:

при   и       и ;

при   и       и .

При   и при  . Аналогично, при  и  получаем . Таким образом, прогибы на гранях пластинки отсутствуют.

Запишем вторые производные прогибов:

;

.

Эти производные, как и прогибы, содержат множители  и , следовательно при ,  и при ,  также обращаются в ноль. Таким образом, функция (90) удовлетворяет всем граничным условиям и может быть принята для решения задачи.

Для определения коэффициентов  возьмем четвертые производные функции прогибов:

;

;

и подставим их в уравнение Софи Жермен (89). После преобразований получаем:

                   (91)

Представим нагрузку  также в виде двойного тригонометрического ряда по синусам:

.

Коэффициенты этого ряда в прямоугольной области ,  определяются по формуле

.

С учетом этого уравнение (91) принимает такой вид:

Равенство двух рядов выполняется, если равны их соответствующие члены, т.е.:

.

Отсюда находим:

или, с учетом выражения для , имеем:

.          (92)

Рассмотрим случай изгиба пластинки под действием равномерно распределенной по всей поверхности нагрузки .

Тогда

и

.

Таким образом, функция прогибов (90) принимает вид:

.                                 (93)

Максимальный прогиб в центре пластинки (при , ) составляет

,

или, с учетом ,

.

Для практического использования это выражение удобно представить в таком виде:

,

где

− коэффициент, зависящий от соотношения сторон пластинки . Значения этого коэффициента приводятся в справочниках.

Ряд, входящий в выражение для , быстро сходится. Так, при удержании первых четырех ненулевых членов ряда для квадратной пластинки () и  получаем:

что  совпадает с точным значением.

При подстановке функции прогибов (93) в выражения (82) получаем изгибающие моменты:

;

.

Максимальные изгибающие моменты достигают наибольшего значения в центре пластинки:

;

.

Аналогично прогибам, представим полученные выражения в таком виде:

;

.

Ряды в коэффициентах  и  сходятся медленнее, чем в прогибах. Так, для квадратной пластинки при сохранении первых четырех ненулевых членов ряда получаем . Это значение отличается от точного () уже на 2,1 %.

При найденной функции прогибов поперечные силы принимают следующий вид:

;

.

Наибольшие значения поперечных сил достигаются в серединах сторон пластинки. Так,  принимает наибольшее значение при , :

или .

 принимает наибольшее значение при ; :

или .

Ряды в коэффициентах ,  сходятся еще медленнее, чем в , . В частности, для квадратной пластинки при удержании первых четырех ненулевых членов ряда получаем , что отличается от точного значения  уже на 16,3 %.

Следует отметить, что более общим является решение Леви, которое предполагает наличие шарнирного опирания лишь на двух противоположных краях пластинки, а остальные могут иметь произвольные закрепления. Это решение в нашем курсе не рассматривается.

Метод Ритца-Тимошенко

Метод основан на теореме Лагранжа, в соответствии с которой из всех возможных распределений перемещений упругого тела истинными являются такие, которые сообщают полной потенциальной энергии системы минимальное значение, т.е.:

.                                               (94)

Здесь  − работа упругой деформации тела. Для случая изгиба тонкой пластинки она имеет вид:

.                           (95)

Работа внешних сил, действующих на пластинку, при отсутствии объемной нагрузки

.                                                    (96)

Примем функцию прогибов пластинки в виде ряда

,                                                  (97)

Где  − некоторые заданные функции,  − коэффициенты, подлежащие определению.

После подстановки функции (97) выражение (94) является квадратичной функцией параметров , а работа внешних сил – их линейной функцией.

Минимуму полной потенциальной энергии системы соответствует условие равенства нулю ее производных по параметрам ;

, ; .                              (98)

Таким образом, получаем систему  линейных уравнений для определения параметров .

Заметим, что уравнения (98) выражают как условия равновесия, так и статические граничные условия. В связи с этим при задании функций , входящих в выражение прогибов (97), обязательно удовлетворять лишь кинематические граничные условия.

Подставляя найденные из (98) параметры  в (97) получаем искомую функцию прогибов пластинки.

Полученное решение является приближенным. Сходимость ряда (97) к точному решению можно повысить, принимая функции  удовлетворяющими как статическим, так и кинематическим граничным условиям, а также увеличивая число членов ряда.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я