Граничные условия

Как известно, различают два типа граничных условий: геометрические и статические. В геометрических условиях задаются величины линейных и угловых перемещений, в данном случае прогибов и углов поворота нормали к срединной плоскости. Статические условия задают величины усилий. При изгибе пластинки – это изгибающие и крутящий моменты, а также поперечные силы.

Уравнение Софи Жермен является дифференциальным уравнением четвертого порядка. Поскольку прогибы являются функцией двух переменных, при интегрировании для прямоугольной пластинки появляется необходимость учета восьми граничных условий – по два на каждом краю.

Рассмотрим прямоугольную пластинку (рис. 13) с различными закреплениями краев и покажем какой вид для них имеют граничные условия.

Рис. 13

На защемленном краю отсутствуют прогибы и углы поворота нормали к срединной плоскости в направлении, перпендикулярном к краю. На рис. 13 защемлен край . Для него

;            .

На свободно (шарнирно) опертом краю (на рис. 13 при  и) отсутствуют прогибы и изгибающие моменты в направлениях, перпендикулярных к краю:

;            .

Выражая моменты через функцию прогибов, получаем:

;            .

Учитывая, что вдоль рассматриваемых краев прогибы не зависят от координаты , окончательно имеем:

;            .

Для свободного края (на рис. 13 при ) отсутствуют все погонные усилия:

;        ;          .

Таким образом, имеем избыток граничных условий: три, вместо необходимых двух.

Чтобы избежать этого, рассмотрим действие крутящих моментов на свободном краю (рис. 14, а). На участке длиной  равнодействующую крутящего момента  заменим парой сил  (рис. 14, б). На соседнем участке  эта пара будет иметь величину .

Рис. 14

При таком представлении действие крутящих моментов заменяется распределенной нагрузкой интенсивностью  и угловыми сосредоточенными силами . Суммируя эту нагрузку с поперечной силой , получаем некоторую приведенную поперечную силу

или с учетом (83), (84):

.

Теперь на свободном краю вместо трех условий можно записать два:

;        .

Выразив их через функцию прогибов, получаем

;

.

Вопросы для самоконтроля

Какая пластинка называется тонкой?

На каких гипотезах основывается техническая теория изгиба пластинок?

Какие деформации отсутствуют при изгибе тонкой пластинки?

Из каких условий находятся выражения для напряжений  и ?

Какие напряжения отсутствуют при изгибе тонкой пластинки?

Что такое погонные усилия?

Какие усилия при изгибе тонкой пластинки обращаются в ноль? Назовите остальные усилия.

Какой вид имеет дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки?

Как получают решение задачи изгиба пластинки?

Какие виды условий рассматриваются на контуре пластинки?

Какие граничные условия выполняются на защемленном, шарнирно опертом и свободном краях пластинки?


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я