Напряжения и усилия

На основании третьей гипотезы Кирхгофа напряжения . Преобразуем формулы закона Гука (24):

;            .

Домножим второе равенство на  и сложим с первым:

,

откуда

.

Аналогичные преобразования дают

.

Подставляя деформации  и  из (77) получаем

                                      (78)

Касательные напряжения  получим из четвертой формулы (31) закона Гука с учетом (30) и (77):

.                                                (79)

На основании первой гипотезы Кирхгофа из пятой и шестой формул (31) получаем

;         .

Однако это противоречит условиям равновесия. Действительно, при отсутствии объемной нагрузки из первого уравнения Навье следует:

.

Подставим сюда напряжения из (78), (79):

и после преобразований получаем:

или с учетом обозначения оператора Лапласа

.

Проинтегрируем это выражение по :

При отсутствии на основаниях пластинки касательной нагрузки имеем:

при               .

Тогда

и

.

Теперь выражение для  принимает такой вид:

.

Аналогичные преобразования второго уравнения Навье дают:

.

Таким образом, при изгибе тонкой пластинки в ее сечениях возникают следующие напряжения:

                             (80)

Как уже указывалось, напряжения  считаются нулевыми.

Эпюры распределения напряжений по толщине пластинки приведены на рис. 10. Заметим, что характер распределения нормальных и касательных напряжений в сечениях пластинки аналогичен их распределению в балке при поперечном изгибе.

Рис. 10

Обратим внимание на то, что все напряжения, как и деформации, выражены через одну функцию прогибов .

Выделим элемент пластинки единичной длины вдоль осей  и  (рис. 11).

Рис. 11

В каждой точке на гранях этого элемента действуют нормальные и касательные напряжения. Равнодействующие этих напряжений на полоске высотой , выделенной на грани с нормалью , сводятся к следующим элементарным усилиям:

;         ;

;      ;

.

Подставляя в эти выражения напряжения из (80) и интегрируя по , приходим к следующим соотношениям:

;

;

;

;

;

Здесь введено обозначение

,                                                     (81)

называемое цилиндрической жесткостью пластинки, отражающей упругие и геометрические характеристики пластинки.

Аналогично для сечения с нормалью  получаем:

;         ;

;

;

.

Ввиду равенства , обычно вводится новое обозначение:

.

Таким образом, в сечениях тонкой пластинки, перпендикулярных срединной плоскости, при ее изгибе действуют следующие погонные (приходящиеся на единицу длины сечения) усилия:

изгибающие моменты

                                           (82)

поперечные силы

                                                            (83)

крутящий момент

.                                           (84)

Нормальные ,  и сдвигающие ,  усилия при изгибе пластинки отсутствуют.

Все усилия выражены через функцию  прогибов срединной плоскости. Их положительные направления приведены на рис. 12.

Напомним, что индексы при усилиях соответствуют нормали к сечению, на котором действуют эти усилия. Например  − это погонный изгибающий момент в сечении с нормалью .

Сравнивая между собой формулы напряжений (78), (79) и погонных усилий (82), (83), (84), с учетом обозначения (81) можно выразить напряжения через усилия:

                   (85)

Если иметь в виду, что величина  представляет собой момент инерции прямоугольного сечения единичной ширины, формулы для нормальных напряжений ,  совпадают с формулами сопротивления материалов:

;               .

Аналогичное соответствие с формулами касательных напряжений в балке прямоугольного сечения имеет место для касательных напряжений  и .

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности

Полученные соотношения для деформаций, напряжений и усилий выражают их через функцию  прогибов срединной плоскости пластинки. В связи с этим решение задачи изгиба тонкой пластинки заключается в определении этой функции.

Рассмотрим равновесие элемента срединной плоскости (рис. 12), находящегося под действием перпендикулярной к ней нагрузки  и погонных усилий на границах элемента.

Рис. 12

Спроектируем силы на ось :

Раскрывая скобки и приводя подобные, после сокращения на  получаем:

.                                                  (86)

Далее запишем сумму моментов сил относительно оси :

Раскрывая скобки, приводим подобные и отбрасываем слагаемые третьего порядка малости (содержащие произведения трех дифференциалов). Оставшиеся слагаемые сокращаем на произведение :

.                                                   (87)

Аналогичное соотношение получаем из уравнения моментов относительно оси :

.                                                  (88)

Продифференцируем (87) по , (88) по  и подставим производные поперечных сил в (86):

.

Подставим сюда выражения изгибающих и крутящего моментов из (82), (84):

.

После приведения подобных получаем:

или

.                                                       (89)

Это дифференциальное уравнение изогнутой срединной плоскости называют также уравнением Софи Жермен. Функция прогибов  получается интегрированием этого уравнения с учетом условий на контуре пластинки – граничных условий.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я