Метод конечных разностей

Метод конечных разностей (метод сеток) является эффективным средством приближенного решения дифференциальных уравнений. Его суть заключается в том, что непрерывная функция заменяется набором значений в фиксированных точках. При этом производные функции выражаются через разности значений функции в точках, благодаря чему дифференциальное уравнение заменяется системой линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим некоторую функцию одной переменной , график которой приведен на рис. 7.

Рис. 7

Выберем на оси  точки, отстоящие друг от друга на равном расстоянии , называемом шагом. Тогда значение первой производной  в точке  можно приближенно записать так:

.                                      (67)

Применяя дважды выражение (67), можно записать вторую производную:

.

Сокращая интервал в два раза, получаем:

.                                     (68)

Аналогично, применяя дважды (68), запишем четвертую производную:

.                        (69)

Для плоской задачи дифференциальное уравнение записывается в частных производных. Разобьем область (рис. 8) сеткой на ячейки с одинаковыми размерами .

Рис. 8

Пронумеруем точки вокруг исследуемой точки  и запишем производные в этой точке, используя выражения (67), (68), (69):

;        ;                             (70)

   (71)

               (72)

Теперь, используя (72), можно записать бигармоническое уравнение (56) в конечных разностях. После сокращения на  оно принимает для точки  такой вид:

                    (73)

Уравнения (73) могут быть записаны для каждой точки внутри контура. В них войдут также значения функции напряжений для точек на контуре и отстоящих на один шаг за контуром (штриховые линии на рис. 8).

Значения функции на контуре и за контуром находят из граничных условий. В таком случае получают полную систему линейных алгебраических уравнений для определения значений  в точках внутри контура.

Для записи граничных условий проф. Л.П.Синицын предложил использовать балочную аналогию. Рассматривая верхнюю грань контура как балку, можно составить зависимость между изгибающим моментом и нагрузкой:

.

В то же время для напряжений  из граничного условия имеем:

.

Сравнивая приведенные зависимости получаем:

или, после интегрирования

.

Так как напряжения выражаются через вторые производные функции напряжений, то значения констант  и  не сказываются на их величине и можно принять

.

При этом, поскольку константы интегрирования в выражении момента зависят только от характера закреплений балки, последние можно принимать любыми. Как правило, удобно определять эти изгибающие моменты считая контур ремой с шарнирными соединениями стержней в узлах (рис. 9). Положительными при этом считаются моменты, растягивающие волокна стержней, расположенные внутри рамы.

Рис. 9

Для определения значения  в законтурной точке  (рис. 8) запишем ее производную для соответствующей точки  на контуре:

.

Отсюда получаем:

.

Значение производной  на верхней грани получим из выражения

.

Действительно

,

откуда

.

При отсутствии касательной нагрузки на контуре  и производная  постоянна вдоль грани. Учитывая, что на левой вертикальной грани  равно производной  изгибающего момента вертикального элемента рамы, получаем, что при  . Эта поперечная сила в вертикальном стержне рамы из равновесия узла равна продольной силе в горизонтальном стержне:

Тогда для прямоугольного контура при отсутствии касательной нагрузки получаем:

.                                                     (74)

С учетом соответствия знаков между поперечными и продольными силами в узлах рамы, аналогичное соотношение справедливо для законтурных точек на других гранях. Например, на левой грани для т.  имеем:

.

После составления и решения системы уравнений вида (73) напряжения определяются по формулам (55), записанным в конечных разностях. Например, для точки  получаем:

                                               (75)

Как уже указывалось, метод конечных разностей является приближенным. Точность расчета повышается с уменьшением шага сетки. Метод дает возможность решать плоскую задачу при сложном очертании контура, а также при наличии вырезов внутри области.

Вопросы для самоконтроля

Что такое функция Эри?

Из каких условий вводится функция напряжений?

К чему сводится решение плоской задачи при введении функции напряжений?

Как решается плоская задача в полиномах?

Какова минимальная степень полинома, применяемого для решения плоской задачи?

Как представляется функция напряжений при решении в тригонометрических рядах?

Как должна быть представлена нагрузка при решении в тригонометрических рядах?

Какова суть метода конечных разностей?

Сколько уравнений в конечных разностях должно быть записано для плоской задачи?

Как определяются значения функции напряжений на границе области?

То же за границей области?

От чего зависит точность решения плоской задачи методом конечных разностей?


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я