Решение в полиномах

Решение в полиномах является одним из вариантов реализации обратного метода решения плоской задачи.

Рассмотрим варианты полиномов, принимаемых для выражения функции напряжений.

Полином первой степени

,                                                        (59)

очевидно, неприменим для функции напряжений, т.к. его вторые производные обращаются в ноль, что соответствует отсутствию напряжений.

Полином второй степени

                                                (60)

дает нулевые четвертые производные, следовательно, бигармоническое уравнение (56) удовлетворяется тождественно. При этом вторые производные являются константами, что соответствует постоянству напряжений и, следовательно, равномерной нагрузке на контуре пластинки.

Полином третьей степени

                              (61)

также дает нулевые четвертые производные, т.е. является бигармоническим. Так как вторые производные этого полинома являются линейными функциями, то такая функция напряжений соответствует линейно меняющейся нагрузке на контуре пластинки.

Полином четвертой степени

                      (62)

дает такие четвертые производные:

;             ;            .

Подставляя их в уравнение (56), получаем

или

.                                                      (63)

Таким образом, полином (62) удовлетворяет бигармоническому уравнению при условии (63). Т.е. любые четыре коэффициента, например , , ,  могут быть взяты произвольными, а пятый должен быть выражен через них из (63):

.

Тогда полином (62) должен выглядеть так:

.

Аналогично можно показать применение полиномов более высокой степени для решения задачи.

В общем случае нагружения необходимо разложить нагрузку на контуре по полиномам. Далее для каждой составляющей нагрузки принять соответствующую функцию напряжений и найти ее коэффициенты из граничных условий. Просуммировав затем полученные функции напряжений, получаем решение задачи.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я