Постановка задачи. Функция напряжений

Для определения трех неизвестных составляющих напряжений (, , ) имеем два уравнения равновесия (45) и уравнение совместности деформаций (48).

При решении в напряжениях условие (48) необходимо преобразовать, заменив деформации через напряжения. Подставим в него деформации из закона Гука (52):

или

.                     (53)

Продифференцируем первое уравнение Навье (45) по , второе по  и почленно сложим. При постоянстве объемных сил получаем:

,

откуда

.

Подставляя полученное выражение в (53), после приведения подобных приходим к такому соотношению:

,

иначе:

или

.                                                  (54)

Уравнение такого вида называется гармоническим, а функция , удовлетворяющая ему, является гармонической.

Таким образом, задача приведена к интегрированию двух уравнений равновесия:

,

и уравнения сплошности:

.

Введем некоторую функцию  так, чтобы уравнения равновесия удовлетворялись тождественно:

                                             (55)

Функция  называется функцией напряжений (функцией Эри).

Подставим напряжения, выраженные через функцию Эри (55) в уравнение сплошности (54). Получаем

,

т.е.

или

.                                                      (56)

Обозначение  читается «набла четыре» и называется двойным дифференциальным оператором Лапласа. В развернутом виде уравнение (56) запишется так:

.                                 (57)

Функция , удовлетворяющая уравнению (56), называется бигармонической.

Выразим граничные условия также через функцию напряжений:

                                   (58)

Таким образом, решение плоской задачи сводится к отысканию бигармонической функции , удовлетворяющей граничным условиям.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я