Обобщенное плоское напряженное состояние

Обобщенное плоское напряженное состояние характеризуется отсутствием нормальных напряжений на площадках, параллельных одной из координатных плоскостей ().

Такое напряженное состояние появляется в тонких пластинках, нагрузка к которым приложена только на боковой поверхности силами, параллельными основаниям и равномерно распределенными по толщине пластинки (рис. 6).

Рис. 6

Поскольку основания пластинки свободны от нагрузки, то на них . Из-за малой толщины пластинки можно полагать, что  по всей ее толщине.

По тем же причинам можно считать , , а остальные напряжения постоянными по толщине пластинки:

;        ;        .                   (49)

Таким образом, все ненулевые напряжения являются функциями только координат  и , а

;                                                         (50)

;         .                                              (51)

Из третьей формулы закона Гука (24) следует, что

,

т.е. основания пластинки будут искривляться.

Таким образом, формулы закона Гука принимают вид:

                                           (52)

а

.

Формулы (52) отличаются от формул закона Гука для плоской деформации (43) только упругими постоянными.

Остальные соотношения плоской деформации: условия равновесия (45), условия на поверхности (46), формулы Коши (47) и условие сплошности (48) сохраняют свой вид и для обобщенного плоского напряженного состояния. Это обстоятельство позволяет объединить обе задачи в одну – плоскую задачу теории упругости.

Кстати, пластинку можно рассматривать как призматическое тело, высота которого (толщина пластинки) мала по сравнению с размерами основания. В таком случае при одинаковых условиях загружения призматических тел (только на боковых поверхностях нагрузкой, параллельной основаниям и не меняющейся вдоль высоты тела) для тел с высотой, значительно превышающей размеры основания, имеем плоскую деформацию, а для тел с высотой, значительно меньшей размеров основания, имеем плоское напряженное состояние.

Вопросы для самоконтроля

Что такое плоская задача теории упругости?

Что такое плоская деформация? Обобщенное плоское напряженное состояние?

При каких условиях может иметь место плоская деформация? Обобщенное плоское напряженное состояние?

Почему можно объединить плоскую деформацию и плоское напряженное состояние в одну – плоскую задачу?

Чем отличаются основные уравнения плоской деформации и обобщенного плоского напряженного состояния?


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я