Основные соотношения

Плоская задача включает в себя плоскую деформацию и обобщенное плоское напряженное состояние.

Плоская деформация

Плоская деформация представляет собой такое напряженно-деформированное состояние, когда все перемещения точек тела происходят параллельно одной плоскости .

Такое состояние испытывают призматические или цилиндрические тела, высота которых (длина тела) существенно превышает размеры основания. Нагрузка при этом приложена только на гранях параллельно основаниям и не меняется вдоль высоты (длины) тела.

В качестве примеров можно привести тело плотины или массивной подпорной стенки (рис. 5, а), длинного катка (рис. 5, б), балки большой ширины сечения (рис. 5, в).

Рис. 5

Поскольку перемещения являются функциями только двух переменных

,

из формул Коши следует, что

,           ,         ,

а остальные деформации также являются функциями только переменных  и :

,          ,         .                   (40)

При  из третьей формулы закона Гука (24) следует

,

откуда

.

С учетом (41)  остальные ненулевые деформации приводятся к такому виду:

,

,

.

Вводя в этих выражениях новые упругие постоянные

,                                                   (42)

получаем:

                                          (43)

С учетом (40) и (43) на основании формул закона Гука в обратной форме (31) заключаем, что напряжения, так же, как перемещения и деформации, являются функциями только переменных  и:

                 (44)

Основные уравнения теории упругости при плоской деформации упрощаются. Так, из трех дифференциальных уравнений равновесия (1) остаются два:

                                         (45)

Так как основания тела свободны от нагрузки, а на боковых поверхностях направляющий косинус нормали , то из трех условий на поверхности (3) остаются также два:

                                                 (46)

Из шести формул Коши (19) остаются три:

                                              (47)

Шесть условий сплошности Сен-Венана (21), (22) сводятся к одному:

.                                           (48)

Как было показано раньше, из шести деформаций ненулевыми остаются только три. Соответственно обобщенный закон Гука с учетом упругих постоянных (42) выражается тремя формулами (43).


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я