Решение в напряжениях при постоянстве объемных сил

Так как три уравнения равновесия Навье (1) содержат шесть неизвестных составляющих напряжений (, , , , , ), их недостаточно для решения задачи. В связи с этим дополнительно необходимо рассматривать условия сплошности Сен-Венана (21), (22).

Выражая в этих уравнениях деформации , , , , ,  через напряжения из закона Гука (24), после преобразований получаем:

                  (39)

Эти уравнения называются уравнениями Бельтрами-Митчела.

Здесь:

 − дифференциальный оператор Лапласа,

 − первый инвариант напряженного состояния.

Напомним, что при получении уравнений (39) предполагалось, что объемные силы постоянны:

,   ,    .

Для решения задачи в напряжениях необходимо проинтегрировать три уравнения Навье (1) вместе с шестью уравнениями Бельтрами-Митчела (39) при удовлетворении условий на поверхности (3). После этого по формулам закона Гука (24) получают деформации и, далее, по формулам Коши (19) – перемещения.

Типы граничных условий. Методы решения общей задачи теории упругости

Для решения задачи теории упругости во всех случаях должны учитываться условия на поверхности (граничные условия). Для этого должно быть задано уравнение поверхности тела и силы или перемещения ее точек.

Различают два типа граничных условий: кинематические, когда задаются значения перемещений точек поверхности, и статические, если задаются значения напряжений на поверхности.

Возможны также смешанные граничные условия, когда на части поверхности задаются перемещения, а на части – напряжения.

Различают три основных математических метода решения задачи теории упругости:

прямой метод, который заключается в непосредственном интегрировании основных уравнений при выполнении граничных условий;

обратный метод, если задаются функциями напряжений или перемещений, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям задачи, а затем устанавливают, каким граничным условиям эти функции соответствуют;

полуобратный метод Сен-Венана, когда задаются частью функций перемещений или напряжений и из уравнений задачи устанавливают, каким условиям должны удовлетворять остальные функции. При этом дифференциальные уравнения существенно упрощаются.

Вопросы для самоконтроля

Приведите основные уравнения теории упругости.

Сколько и какие неизвестные входят в уравнения теории упругости?

К чему сводится решение общей задачи теории упругости?

Приведите способы решения задачи.

Как преобразуются уравнения Навье и условия на поверхности для решения в перемещениях?

К чему сводится решение задачи в перемещениях?

Как преобразуются условия сплошности для решения в напряжениях?

Как решается задача в напряжениях?

Приведите типы граничных условий задачи?

Приведите основные методы математического решения задачи.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я