Решение в перемещениях

Для получения этого решения необходимо выразить в статических уравнениях напряжения через перемещения.

Рассмотрим первое уравнение Навье. Подставим в него напряжения из закона Гука (31) в обратной форме:

Заменим далее деформации перемещениями с помощью формул Коши:

или

.

Сгруппируем слагаемые, содержащие вторые производные перемещений так:

.

Выражение в первых скобках (34) представляет собой дифференциальный оператор Лапласа от функции :

,                                                   (35)

где                                             .

Обозначение  читается «набла два ».

Выражение во вторых скобках (34) преобразуем следующим образом:

С учетом этого, а также обозначения (35), первое уравнение Навье принимает такой вид:

.

Аналогичные преобразования выполняем с остальными уравнениями Навье. Таким образом, получаем три уравнения:

                                       (36)

называемые уравнениями Ламе.

Далее преобразуем условия на поверхности. В частности, подставим в первое соотношение (3) для напряжения из закона Гука в обратной форме:

и, далее, деформации из формул Коши:

                                    (37)

Представим направляющие косинусы нормали  к площадке как отношения проекций нормали к ее длине:

;          ;        .

Тогда выражение в первых скобках (37) примет такой вид:

.

Выполняя аналогичные преобразования над остальными условиями из (3), приходим окончательно к такому виду условий на поверхности в перемещениях:

                       (38)

Таким образом, решение задачи в перемещениях сводится к интегрированию трех уравнений Ламе (36) при удовлетворении условий на поверхности (38). По найденным перемещениям , ,  из формул Коши находят деформации и, далее из формул закона Гука (31) напряжения.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я