Обобщенный закон Гука

Физические уравнения теории упругости устанавливают соотношения между деформациями и напряжениями. В сопротивлении материалов для линейного напряженного состояния закон Гука имеет вид

.

Здесь  − модуль упругости – отражает упругие свойства материала.

К упругим характеристикам также относятся модуль сдвига  и коэффициент поперечной деформации

или коэффициент Пуассона.

Между модулем сдвига, модулем упругости и коэффициентом Пуассона существует соотношение

.                                                         (23)

При объемном напряженном состоянии продольная деформация, например, в направлении оси  складывается из продольной деформации вдоль оси  от напряжения  и поперечных деформаций от напряжений  и :

.

Учитывая, что

;      ;       ,

получаем

.

Записывая аналогичные соотношения для деформаций в направлении осей  и , присоединяем к ним выражения для угловых деформаций. В результате приходим к шести уравнениям

,                                  (24)

которые представляют собой обобщенный закон Гука в прямой форме.

Обратная форма закона Гука

Можно получить закон Гука в ином виде. Для этого предварительно преобразуем выражение объемной деформации (20), подставив в него деформации из (24):

или

,                                                          (25)

т.е. относительная объемная деформация  пропорциональна первому инварианту напряженного состояния .

Введя модуль объемного расширения

,                                                      (26)

получим

.                                                               (27)

Заменяя первый инвариант напряженного состояния  средним напряжением в точке

,                                                           (28)

вместо уравнения (27) получим

.                                                                (29)

Таким образом, среднее напряжение в точке пропорционально объемной деформации.

Далее преобразуем первую формулу закона Гука (24):

Решаем полученное уравнение относительно :

.

Введем обозначения

,          .                          (30)

Коэффициенты  и  называют коэффициентами Ламе.

С учетом (30) получаем шесть формул обобщенного закона Гука в обратной форме:

                                            (31)

Складывая почленно первые три формулы (31), получаем:

или

.

Заменим первый инвариант напряженного состояния  средним напряжением  из (28), а объемную деформацию  средней деформацией в точке

,                                             (32)

приходим к еще одной форме закона Гука:

.                                                (33)

Таким образом, среднее напряжение в точке пропорционально среднему удлинению в этой точке.

Вопросы для самоконтроля

Приведите упругие характеристики материала.

Что такое коэффициент Пуассона?

Приведите формулы обобщенного закона Гука в прямой форме.

Чем отличаются формулы обобщенного закона Гука в прямой и обратной форме?


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я