Условия совместности деформаций (условия сплошности)

С помощью формул Коши деформации однозначно выражаются через перемещения. Обратное действие связано с интегрированием, поэтому перемещения не всегда могут быть однозначно выражены через деформации.

В связи с этим между деформациями должны существовать соотношения. Получим их, исключая перемещения из формул Коши.

Продифференцируем первую формулу (19) дважды по , вторую дважды по  и сложим их:

.

Выражение в скобках представляет собой угловую деформацию в плоскости . Выполняя аналогичные преобразования со вторым и третьим и, далее, с первым и третьим выражениями (19) приходим к трем соотношениям:

                                          (21)

Далее продифференцируем каждую из трех последних формул (19) по переменной, не входящей в индекс соответствующего угла сдвига:

Почленно сложим первое и третье полученные соотношения и вычтем второе:

.

Продифференцировав полученное выражение по , преобразуем правую часть:

.

С помощью аналогичных преобразований получаем еще два соотношения, которые вместе с предыдущим образуют систему:

                                         (22)

Выражения (21) и (22) устанавливают связь между деформациями и являются условиями совместности деформаций.

При удовлетворении условий (21), (22) тело, разбитое на отдельные элементы, можно собрать после деформации в единое целое без пустот и разрывов. В связи с этим условия совместности деформаций также называют условиями сплошности или уравнениями Сен-Венана.

Вопросы для самоконтроля

Как обозначают составляющие перемещения точки тела?

Как обозначают линейные и угловые деформации?

Между какими величинами устанавливают соотношения формулы Коши?

Что такое объемная деформация?

Что представляют собой уравнения Сен-Венана?

Между какими величинами устанавливают соотношения условия сплошности?


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я