Главные напряжения. Инварианты напряженного состояния

Возьмем в произвольной точке тела некоторую площадку с нормалью . Положение площадки определяется в декартовой системе координат направляющими косинусами , ,  нормали .

Если заданы составляющие  ,  полного напряжения на площадке, полное напряжение можно определить как геометрическую сумму составляющих:

.                                          (4)

Нормальное напряжение на площадке получим спроектировав составляющие  ,  на нормали к площадке:

.

Выразим нормальное напряжение через напряжения на площадках, параллельных координатным плоскостям. Для этого в последнее выражение подставим  ,  из (3):

или

.                (5)

Касательное напряжение на рассматриваемой площадке

.                                                      (6)

При повороте площадки нормальное и касательное напряжения изменяются. Площадка, на которой касательное напряжение обращается в ноль, называется главной. Полное напряжение на главной площадке совпадает с нормалью и является нормальным напряжением. Такое напряжение обозначается  и называется главным напряжением.

Спроектируем главное напряжение на оси координат:

;

;

.

Перенося все слагаемые в одну сторону, получаем уравнения

                                            (7)

Для получения полной системы уравнений к равенствам (7) необходимо присоединить соотношение между направляющими косинусами:

,                                                    (8)

действительное в декартовой системе координат.

Три уравнения (7) являются линейными однородными алгебраическими уравнениями относительно направляющих косинусов. Поскольку , ,  не могут одновременно обратиться в ноль, нулю должен быть равен определитель этой системы:

.                          (9)

Раскрывая определитель, приходим к кубическому уравнению относительно главных напряжений:

.                                         (10)

Коэффициентами этого уравнения являются величины

                           (11)

Решение уравнения (10) дает три действительных, вещественных корня, являющихся главными напряжениями. Эти напряжения нумеруются в порядке убывания

.                                                          (12)

Можно показать, что три главные площадки, соответствующие напряжениям , , , перпендикулярны друг другу.

Величины главных напряжений, а следовательно, и коэффициенты , ,  уравнения (10) не зависят от выбора системы координат. Поэтому ,  и  называют инвариантами напряженного состояния в точке тела.

Инварианты можно выразить, в частности, и через главные напряжения:

                                             (13)

В теории пластичности используются также другие инвариантные величины. Так, величина

           (14)

называется интенсивностью касательных напряжений в точке. Она представляет собой октаэдрическое напряжение, т.е. касательное напряжение на площадке, равнонаклоненной ко всем главным площадкам.

Вместо  часто рассматривают эквивалентную ему величину

,      (15)

называемую интенсивностью напряжений.

Здесь множитель  подобран так, чтобы при линейном напряженном состоянии интенсивность напряжений была равна растягивающему напряжению .

Вопросы для самоконтроля

Что такое полное напряжение? Как оно обозначается на площадке с нормалью ?

То же, нормальное напряжение?

То же, касательное напряжение?

Как обозначаются нормальные и касательные напряжения на площадках, параллельных плоскостям декартовой системы координат?

Приведите правило знаков для нормальных напряжений.

То же, для касательных напряжений.

Между какими величинами устанавливают соотношения уравнения Навье?

Приведите закон парности касательных напряжений.

Как обозначаются составляющие напряжений на наклонных площадках?

Какие соотношения устанавливают условия на поверхности?

Что такое главная площадка? Главное напряжение?

Что такое инварианты напряженного состояния в точке тела?

Как обозначают главные напряжения?

Что такое интенсивность напряжений?


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я