4.3. Рівняння нерозривності

Нехай гранями паралелепіпеда ABCDA'B'C'D' на рис. 23 обмежується деякий нерухомий відносно координатних осей простір, через який протікає рідина.

За час dt через грань ABCD всередину паралелепіпеда втікає маса рідини ρudtdydz = δM'x, а випливає маса 'u'dtdydz = δM˝x.

Щільність  і швидкість u на вході (у площині грані ABCD) у загальному випадку стисливої рідини не рівні щільності ' і швидкості u' на виході (у площині грані A'B'C'D'). При цьому зміни ρ і u обумовлюються тільки тим, що при переході від однієї грані до іншої для схожих точок цих граней змінюється лише координата x незалежно від часу, тому що втікання і витікання рідини відбуваються одночасно. Тому

;                                                                   

;                                                                     

Але

 ,                                                    

останній доданок

                                                                             

нескінченно мала величина вищого порядку відносно інших складових і нею можна знехтувати. Тому

.                                                    

Рис. 23 – До виводу рівнянь руху нев'язкої рідини

Якщо за час dt маса рідини всередині паралелепіпеда збільшилась за рахунок припливу на величину δМ'Х, а зменшилася за рахунок витікання на величину δМ"Х, то результативна зміна маси в цьому русі уздовж координатної осі 0х дорівнює:

 .

Аналогічно знайдемо, що зміни маси в підсумку руху уздовж осей 0в і 0z дорівнюють відповідно

 ;                                                             

 ,                                                             

і отже, загальна зміна маси за час dt дорівнює

 .                    

Ця зміна маси δМ в умовах сплошності потоку повинна дорівнювати зміні маси, обумовленій зміною щільності.

Щільність ρ є функція F (х, у, z, t) . Визначимо величину dМ залежно від зміни щільності ρ.

У початковий момент t маса всередині паралелепіпеда δm'=rdxdydz. По деякий час dt, тобто в кінцевий момент t1 = t+dt, середня для об'єму щільність ρ зміниться і буде дорівнювати r'. Ця зміна відбувається незалежно від координат х, у и z, тому що паралелепіпед нерухомий, тому

 .                                                                   

Отже, в кінцевий момент t1 маса рідини в об'ємі паралелепіпеда

 .                                                 

Таким чином, збільшення маси за час dt буде дорівнювати:

 .                 

Оскільки δМ = δm, то

 ,                        

що дає після скорочення

 .                                             (93)

Це і є шукане рівняння нерозривності.

В окремому випадку сталого руху щільність (як і всі інші параметри руху) від часу не залежить і, отже, .

Тому рівняння нерозривності одержує в цьому разі вигляд

.                                             (94)

Нарешті, для нестисливої рідини як при сталому, так і при несталому русі рівняння нерозривності має вигляд

 .                         (95)

Відзначимо, що рівняння нерозривності (95) може бути записано в іншій формі. Розглянемо похідні, які входять в це рівняння, кожна з який являє собою частинну похідну добутку щільності ρ на відповідні компоненти швидкості u, v і w. Оскільки всі ці величини є функціями координат і часу, то, отже:

;                                                                    

;                                                                   

.                                                               

Роблячи підстановку в рівняння (93) і групуючи доданки, одержимо

 .                (96)

Але

                                                           

(якщо dx, dy і dz розглядаються як відповідні проекції елементарного переміщення ds). Тоді, вводячи ці позначення в (96), одержимо

                         

чи, помноживши на dt,

 .                         

Оскільки перші чотири члени являють собою повний диференціал функції ρ = F (x, y, z, t), то, поділивши на ρdt, остаточно одержимо

.                                            (97)


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я